基本情報技術者試験令和元年度秋季午前問4 - A型システムエンジニアの勉強メモ

極限、無限大、が含まれる数式の問題。

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令和元年度秋期午前問4

$a$ および $b$ を定数とする関数 $\displaystyle f(t) = \frac{a}{t+1}$ 及び $\displaystyle g(t) = \frac{b}{t^{2}-t}$ に対して、 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{f(t)}$ はどれか。ここで、 $a ≠ 0$ 、 $b ≠ 0$ 、 $t \gt 1$ とする。

ア　0

イ　1

ウ　 $\frac{b}{a}$

エ　∞

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解説

この問題で初めて、はてなブログで数式を書く方法を知りました。

TeX と同じような書き方ができるのね。

確率や 2 進数といった数学を絡ませた情報処理の問題は多いけど、これはがっつりと数学の問題になっている。

このような無限大への極限がある問題では、 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \to 0$ であることを利用する。

分子が 1 ではなく a や b などの定数であっても、分母が限りなく大きくなれば、その分数は 0 に近付いていく。

$\displaystyle f(t) = \frac{a}{t+1}$ 、 $\displaystyle g(t) = \frac{b}{t^{2}-t}$ なので、

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{f(t)} = \lim_{t \to \infty} \frac{b \cdot (t+1)}{a \cdot (t^{2}-t)}$ となる。

これの分子と分母を $t^{2}$ で割ると以下のようになる。

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{b \cdot (\frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}})}{a \cdot (1 - \frac{1}{t})}$

ここで、 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} \to 0$ でもある（分母が大きくなるスピードが $\displaystyle \frac{1}{t}$ の場合よりも早くなるだけ）ので以下のようになる。

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{b \cdot (\frac{1}{t} + \frac{1}{t^{2}})}{a \cdot (1 - \frac{1}{t})} \to \frac{b \cdot (0+0)}{a \cdot (1 - 0)} = \frac{0}{a}$

問題文から a ≠ 0 であるので、問題の正解は選択肢アの 0 になる。

（a ＝ 0 の可能性がある場合、分母が 0 となってしまうので NG な分数になってしまう。）

上記は真面目な解き方。

楽な解き方として以下のような考え方もある。

$f(t)$ も $g(t)$ も $t \to \infty$ で 0 に近付く。
どちらも 0 に近付くが、 $g(t)$ の方が早く 0 に近付く（ $\displaystyle \frac{1}{t}$ よりも $\displaystyle \frac{1}{t^{2}}$ の方が小さくなるスピードが早いので）。
$g(t)$ の方が早く 0 に近付いていくので、 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{g(t)}{f(t)}$ は分子の方が先に小さくなって 0 に近付いていく。つまり、分数としても 0 に近付いていく。

前後の問題はこちら。

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